Um dos problemas centrais (e bastante complicado) em teoria de homotopia consiste em estudar os grupos de homotopia das esferas, em geral tais grupos não são conhecidos. Por exemplo, no caso da 2-esfera, os grupos de homotopia \(\pi_n(S^2)\) são conhecidos para \(n\leq 64\). Recentemente Berrick et al. estabeleceram uma forte conexão entre os grupos de tranças sobre a 2-esfera e os grupos de homotopia \(\pi_n(S^2)\), que pode ser encontrada em seu artigo intitulado "Braids, configurations and homotopy groups" , J. Amer. Math. Soc. (2006).

Nesta palestra introduziremos rapidamente a noção de grupos de tranças sobre superfícies e posteriormente ilustraremos que a conexão estabelecida por Berrick et al. pode-se estender a grupos de tranças sobre qualquer superfície. Em outras palavras, provaremos que existe uma conexão entre grupos de tranças sobre qualquer superfície e os grupos de homotopia da 2-esfera \(\pi_n(S^2)\). Finalmente daremos alguns exemplos no caso em que \(n\) é pequeno.

Esse trabalho faz parte do meu projeto de pesquisa do Doutorado em Matemática, suportado pela FAPESP, com enfase em topologia algebrica e dirigido pelos Professores Daciberg Lima Gonçalves e John Guaschi.