É conhecido o fato que existe uma correspondência 1-1 entre grupos de Lie simplesmente conexos e álgebras de Lie de dimensão finita. Neste caso, dizemos que um grupo de Lie é a versão global de uma álgebra de Lie ou que uma álgebra de Lie é o dado infinitesimal de um grupo de Lie. Nesta palestra, estudaremos correspondências entre estruturas globais e infinitesimais cuja origem se encontra na Geometria Simplética. Especificamente, introduziremos os conceitos de variedade simplética e variedade de Poisson e mostraremos em que sentido uma variedade de Poisson pode ser pensada como uma estrutura infinitesimal. Logo, explicaremos qual a geometria global que corresponde a uma variedade Poisson, no espírito da correspondência entre grupos e álgebras de Lie. Se o tempo permitir, discutiremos problemas recentes na interseção da Geometria Poisson e a Teoria de Lie com aplicações à Geometria não-comutativa.

Nesta palestra descreveremos resultados de boa coloção do seguinte problema a valores iniciais associado ao sistema Davey-Stewartson

\[ \begin{align*}i\partial_t u+\delta\partial^2_{x_1}u+\sum_{j=2}^n\partial^2_{x_j}u& =\chi|u|^\alpha u+bu\partial_{x_1}\varphi, (x,t)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} , n=2,3,\\ \partial^2_{x_1}\varphi+\partial^2_{x_2}\varphi+\sum_{j=3}^n\partial^2_{x_j}\varphi&=\partial_{x_1}(|u|^\alpha),\end{align*}\]

em espaços \(L^p\) fracos, onde \(u = u(x, t)\) é uma função complexa, \(\varphi =\varphi(x, t)\) é uma fução real, \(\delta =\pm 1\) e os outros parâmetros (\(\alpha\), \(m\), \(x\) e \(b\)) são constantes reais que satisfazem a certas condições.

No caso \(\delta = 1\) o sistema de Davey-Stewartson admite um tipo de solução especial conhecida como solução auto-similar. Os espaços naturais para considerar esse tipo de solçuão são os espaços \(L^p\) fracos.

A ferramenta principal em nossa análise é o uso de estimativas de Strichartz generalizadas obtidas para soluções da equção linear de Schrödinger. Isto nos permite em particular estabelecer existência global de soluções.

Esta palestra tem o objetivo de divulgação da área de análise,

portanto apresentaremos apenas as idéias das provas sem nos aprofundarmos nas contas.