Essa palestra será dividida em duas partes. Na primeira, apresentaremos uma panorâmica sobre a dinâmica de translações, tanto de tempo discreto quanto de tempo contínuo, nas variedades flags reais, que são generalizações dos espaços projetivos e das grassmanianas. Na segunda, mostraremos como a primeira parte pode ser utilizada para investigarmos a entropia topológica de endomorfismos de grupos de Lie, um assunto que parecia há muito resolvido, mas ainda não está. Em ambas as partes serão apresentados resultados recentes e alguns problemas em aberto.

We consider gradient Ricci solitons, conformal to an \(n\)-dimensional pseudo-Euclidean space, which are invariant under the action of an \((n-1)\)-dimensional translation group. We provide all such solutions in the case of steady gradient Ricci solitons.

I will consider some aspects of the relation between metrics on a 2-dimensional manifold with negative constant Gaussian curvature and differential equations. The notion of a differential equation which describes a metric of constant curvature was introduced in my joint work with S. S. Chern. This seminal paper generated a series of articles where a classification of certain types of differential equations and differential systems was obtained. I will provide a survey on these papers, including recent results that provide huge classes of differential equations with their respective linear problems.

Let be \(\text{Diff}(M)\) the set of all \(C^1\)-diffeomorphisms \(f:M \rightarrow M\), where \(M\) is a compact boundaryless \(d\)-dimensional manifold, \(d >=2\). We prove that there is a residual subset \(R\) of \(\text{Diff}(M)\) such that if \(f \in R\) and if \(H(p)\) is the homoclinic class associated with a hyperbolic periodic point \(p\), then either \(H(p)\) admits a dominated splitting of the form \(E \oplus F_1 \oplus \cdots \oplus F_k \oplus G\), where \(F_i\) is not hyperbolic and one-dimensional, or \(f|_{H(p)}\) has no symbolic extensions.

References

Symbolic extensions and dominated splittings for generic -diffeomorphisms. A. Arbieto, A. Armijo, T. Catalan, L. Senos. Mathematische Zeitschrift, December 2013, Volume 275, Issue 3--4, pp 1239-1254.

A equação de Korteweg-de Vries (KdV) foi deduzida pela primeira vez no estudo de ondas de água em um canal raso [1]. Atualmente, sabe-se que essa equação pode aparecer em muitas outras situações e tem sido fonte de pesquisa de físicos e matemáticos nos últimos cinquenta anos.

O estudo de controle e estabilização em um domínio limitado teve início com os trabalhos de Russell e Zhang [2,3] e, desde então, o problema tem sido intensivamente explorado, com destaque para a obtenção de taxas de decaimento temporal da energia. Nessa apresentação, pretendemos fazer uma abordagem dos resultados mais recentes.

Referências

[1] D. J. Korteweg and G. de Vries, On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, Philos. Mag. 39 (1895) 39: 422--443.

[2] D. L. Russell, Computational study of the Korteweg-de Vries equation with localized control action, Distributed Parameter Control Systems: New Trends and Applications (ed. by G. Chen, E. B. Lee, W. Littman, and L. Markus), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., Marcel Dekker, New York, 128 (1991), 195--203.

[3] B.-Y. Zhang, Some results of nonlinear dispersive wave equations with applications to control, Ph. D. thesis, University of Wisconsin-Madison, 1990.

Aqui consideraremos a resolução para o problema de Laplace com as condições de contorno de Dirichlet e Neumann para dados não regulares no domínio fechado. Vamos resolver com o uso das funções de Green e espaços funcionais adequados e também estudar a existência e unicidade da soluções muito fracas.