I’ll discuss the connection between interval exchange transformations and a family of `flat' surfaces. There is a natural flow defined on this family. I'll try to give an idea of the statistical behaviour of this flow.

Seja \(\phi:S \multimap S\) uma função a \(n\)-valores contínua em alguma superfície compacta \(S\). Primeiro classificaremos as classes de homotopia das funções a \(n\)-valores onde na maioria dos casos isto é dado em termos dos grupos de tranças puros em \(n\)-cordas da superficie \(S\). Então damos um critério algébrico para decidir quais classes de homotopia contém um representante que é livre de ponto fixo.

Apesar do critério algébrico não ser fácil de aplicar, principalmente no caso onde a superfície tem característica de Euler não positiva, apresentaremos alguns cálculos no caso onde \(S\) é o toro. Este caso é particularmente interessante pois para \(n=1\) é conhecido satisfazer a propriedade de Wecken, a qual é definida em função do número de Nielsen. Uma vez que o conceito de número de Nielsen também é definido para funções a valores múltiplos, temos a questão natural, que é aberta, se o toro satisfaz a propriedade de Wecken. Também uma breve descrição do caso onde \(S\) é o plano projetivo será apresentada.

(Trabalho conjunto com John Guaschi - Department de Mathematique- Université de Caen Baisse Normandie)

O problema de determinar o tipo de homotopia de um complexo simplicial
\(C\) se simplifica muito se o complexo for shellable, o que significa que
se podem enumerar os simplexos topo de \(C\) de um modo particularmente
favorável. Mas quando é que um complexo simplicial é shellable? Em
geral, não existe uma caracterização simples, mas para baixas dimensões
podemos apresentar um teorema que reduz esta questão a uma propriedade
simples do grafo dos fechados, desde que o complexo admita um certo
tipo de representação tropical (sobre o semianel superbooleano, mais
precisamente). E todos os matróides admitem este tipo de
representações.