Considere um baralho padrão contendo 52 cartas. Assumindo que essas cartas estão numeradas de 1 a 52 e organizadas em uma pilha, de forma crescente de cima para baixo, quantas vezes precisamos repetir uma embaralhada para que o baralho se encontre bem embaralhado?

Bayer e Diaconis mostraram em 1992 que 7 embaralhadas "do tipo certo" são necessárias e suficientes para que o baralho encontre-se bem embaralhado. Nessa palestra será demonstrada uma versão mais fraca desse resultado: "13 embaralhadas são suficientes". Será fornecida uma formulação matemática precisa para esse resultado e discutiremos a relação entre esse problema e alguns conceitos de cadeias de Markov: passeios aleatórios em grupos, convergência para o equilíbrio e tempos de mistura. Também discutiremos o quão apropriada é a interpretação desse resultado matemático.

\(\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}} \newcommand{\nat}{\mathbb{N}} \newcommand{\cantor}{\{0,1\}^{\nat}} \newcommand{\two}{\{0,1\}} \newcommand{\homcantor}{{\mathcal H} (\cantor)} \newcommand{\contcantor}{{\mathcal C} (\cantor)}\) In this talk we discuss a unifying graph theoretic approach to study the dynamics and the structure of spaces \(\homcantor\) and \(\contcantor\), the space of homeomorphisms and the space of self-maps of the Cantor space, respectively. Using our methods, we give characterizations which determine when two homeomorphisms of the Cantor space are conjugate to each other. We also give a new characterization of the comeager conjugacy class of the space \(\homcantor\). The existence of this class was established by Kechris and Rosendal and a specific element of this class was described concretely by Akin, Glasner and Weiss. Our characterization readily implies many old and new dynamical properties of elements of this class. For example, we show that no element of this class has a Li-Yorke pair, implying the well known Glasner-Weiss result that there is a comeager subset of \(\homcantor\) each element of which has topological entropy zero. Our analogous investigation in \(\contcantor\) yields a surprising result: there is a comeager subset of \(\contcantor\) such that any two elements of this set are conjugate to each other by an element of \(\homcantor\). Our description of this class also yields many old and new results concerning dynamics of a comeager subset of \(\contcantor\).

All of this is joint work with Nilson Bernardes of Universidade Federal do Rio de Janeiro and is contained in the following article:

Bernardes, Nilson C., Jr.; Darji, Udayan B. Graph theoretic structure of maps of the Cantor space. Adv. Math. 231 (2012), no. 3-4, 1655-1680.