Um endomorfismo φ de um grupo G define um sistema dinâmico discreto (G, φ) e é muito natural estudar os respetivos pontos fixos. Neste caso, os pontos fixos constituem um subgrupo de G que designamos por Fix(φ). Na teoria dos grupos infinitos, uma das propriedades mais importantes que um subgrupo pode ter é ser finitamente gerado. Apresentaremos resultados que esclarecem esta questão para Fix(φ) no caso de:

• grupos virtualmente livres;
• grupos de grafo (em colaboração com Rodaro (Porto) e Sykiotis (Atenas)).

Se um grupo for hiperbólico, pode ser dotado de uma topologia natural (metrizável) que admite uma compatificação (bordo) com excelentes propriedades (Gromov). Todo endomorfismo uniformemente contínuo admite então uma extensão contínua Φ ao bordo, que constitui um sistema dinâmico bem mais interessante que (G,φ). Apresentaremos um novo modelo do bordo para grupos virtualmente livres e suas aplicações ao estudo da estrutura e dinâmica do subespaço dos pontos fixos de Φ.

I will explain the phenomenon of wrapping, when a single Ramsey-theoretic statement happens to be equivalent to a whole strong logical theory. No longer do you need to understand the axioms, or justify them, or even know them. There is a combinatorial way of doing things that allows you to talk about unprovability and strength that doesn't mention any logic. I will start with Ramsey theorem for triples and the Open Ramsey theorem and move up, all the way to the modern striking examples of wrapping.

In this talk, we shall give a brief overview of the large cardinal hierarchy in set theory, with a particular emphasis on the upper part of the hierarchy, that is, those large cardinal notions which are associated with elementary embeddings between transitive class models of ZFC. At the same time, we shall also give examples of connections between such notions and questions coming from other areas of mathematics.